Po co nam granice?

Nadszedł czas na kolejny wpis. Tym razem chciałbym pomówić o granicy funkcji z punktu widzenia licealisty. Na pewno wszyscy je mieli, ale wielu wciąż nie wie, po co dokładnie jest ta granica (prócz zdefiniowania pochodnej). Cóż, granice wykorzystuje się w matematyce do wielu celów, jednak chciałbym powiedzieć głównie o jednym z ich zastosowań (konkretnie granic jednostronnych): rysowanie wykresów funkcji.
Na początku powiedzmy, jak można rozumieć granicę funkcji w punkcie. Niestety, często jest tak, że ktoś zna pojęcie "granica", ale nie wie, jak je zinterpretować. Najprościej można to wyjaśnić tak: wyobraźmy sobie, że mamy wykres funkcji i chodzącą po nim mrówkę. Granicą funkcji w pewnym punkcie x będzie taka wysokość (tzn. taka wartość funkcji), na jakiej będzie mrówka, kiedy będzie nad tym punktem, idąc w lewo lub w prawo po wykresie (będzie to odpowiednio granica lewo- i prawostronna). Dlatego też dla niektórych funkcji są punkty (dla np. 1/x będzie to 0), gdzie granica będzie równa nieskończoności (dodatniej lub ujemnej), ponieważ mrówka będzie musiała iść nieskończenie wysoko lub nieskończenie nisko, żeby znaleźć się dokładnie nad tym punktem.
To tyle, jeśli chodzi o podstawy. Czas zająć się wykresami. Nie będą to oczywiście wykresy dokładnie, bo to by wymagało trochę liczenia, ale za rysowanie przybliżonych wykresów można się zabrać. Oczywiście, rysowanie np. homografii jest proste: starczy znaleźć asymptoty i narysować ramiona. Gorzej, jeśli mamy np. taką funkcję:

A jej wykres jest taki:

No i zonk, jak tu teraz sprawdzić, jak ta funkcja idzie? I w tym właśnie momencie przydają się nam granice jednostronne.
Na początku może przypomnijmy sobie pewną rzecz, która z pewnością była przy omawianiu granic jednostronnych, mianowicie granica jednostronna w ujęciu Heinego. Symbolicznie zapisać ją można tak:

Przydałoby się jakieś wyjaśnienie. Najprościej rzecz ujmując: spacer naszego x (czyli mróweczki na wykresie)  w lewo do x0 będzie tym samym, gdybyśmy mówili o jakimś punkcie oddalonym w prawą stronę od x0 o jakąś poprawkę (czyli nasze h), która staje się coraz mniejsza i mniejsza, aż dochodzi do zera. To jest właśnie granica prawostronna (czyli mrówka idąca z prawej strony). Wydaje się to dość logiczne. Podobnie jest z granicą lewostronną, z tą różnicą, że punkt oddalony o poprawkę jest na lewo od x0.
Ok, mamy już teorię, pora na praktykę. Chcemy się dowiedzieć, jak narysować wykres naszego f(x). Najpierw sprawdźmy asymptotę pionową. Od razu widać, że będzie to x=0 (wtedy mianownik jest zerowy). Pytanie, jak sprawdzić, czy funkcja po lewej i po prawej stronie idzie do plus,  czy też do minus nieskończoności? Wystarczy policzyć granicę lewo- i prawostronną. Wpierw policzmy lewostronną:

A teraz prawostronną:

Jak widać, wszystko zgadza się z pokazanym wyżej wykresem: gdy x dąży do zera zarówno z lewej, jak i z prawej strony, wartość funkcji dąży do minus nieskończoności.
Teraz pozostało jeszcze policzyć asymptotę poziomą. To można zrobić, licząc wartość funkcji, gdy x dąży do plus i minus nieskończoności. To już zostawiam Wam. Powiem tylko, że powinna wyjść jedynka.
Jest jeszcze jedna kwestia, mianowicie, czy funkcja koniecznie musi mieć asymptotę, jeśli na pierwszy rzut oka widać, że tak. Weźmy taką funkcję:

Od razu widać, że funkcja ma asymptotę x=-2, prawda? A teraz spójrzmy, co nam pokaże komputer:

No to mamy problem. Komputer mówi, że dla -2 funkcja przyjmuje jakąś określoną wartość (może trochę tego nie widać, ale wystarczy się przyjrzeć), choć byliśmy pewni, że tam jest asymptota. Więc kto ma rację: my, czy komputer? Komputer, choć nie do końca. Gdybyśmy policzyli lewo- i prawostronną granicę g(x) w punkcie -2, z obu by nam wyszło 12. Jednak nie oznacza to, że w punkcie -2 funkcja ma taką wartość. Po prostu w tym miejscu funkcja jest nieokreślona i powinniśmy w tym miejscu narysować puste kółko, jak to się nauczyliśmy w szkole na lekcjach matematyki.
Czemu więc komputer pokazał, że funkcja w tym punkcie jest ciągła? Otóż to jest właśnie przestroga, żeby nie używać maszyn jako wyroczni. Komputery nie liczą wartości funkcji dla każdej liczby rzeczywistej (inaczej liczyłyby ją w nieskończoność). Robią to tylko dla pewnych dość blisko położonych punktów, a potem uśredniają wykres i pokazują wynik. Dlatego dobrze radzę uważać przy sięganiu po pomoc do komputera i na wszelki wypadek lepiej samemu sprawdzać wynik.