Dziedzina: jak się za nią zabrać?

Cóż, oto pierwszy post mojego nieregularnego bloga. Nieregularnego, bo na chwilę obecną nie przewiduję cyklicznie wrzucać coś na niego. Będę pisał wraz z chwilami natchnienia ;).
Na samym początku chciałbym się zająć czymś, co często jest problemem przy rozwiązywaniu zadań z funkcjami: jak wyznaczyć dziedzinę funkcji. Wielu pewnie mnie skrytykuje już na starcie, ale wierzcie mi, ludzie mają z tym problemy.
Na dzień dobry powiedzmy sobie, przy których wyznacznie dziedziny nie sprawia trudności. Jeśli mamy pod ręką funkcję, która jest od A do Z:

• liniowa
• wielomianowa (kwadratowa, sześcienna etc.)
• sinusem lub cosinusem

wtedy nie mamy absolutnie żadnego problemu, gdyż dla każdej liczby rzeczywistej powyższe funkcje mają jakąś wartość. Gorzej, jeśli mamy inne funkcje, np. wymierne lub logarytmiczne. Ale po kolei.
Podstawowym błędem jest skupianie się tylko i wyłącznie na mianowniku w funkcjach wymiernych. Oczywiście w funkcji jak np. ta:

wystarczy zerknąć na mianownik i od razu większość widzi, że dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste bez -1 i 1 (żeby w mianowniku nie było zera). Ale spójrzmy na taką funkcję:

I już się człowiek gubi. Część ludzi w ogóle nie zwraca uwagi na to, że mianownik może być zerowy, gdyż myli ich sinus. Taki błąd może nie jest częsty, ale czasem się go popełnia. Pozostali spokojnie sprawdzają mianownik i wychodzi im, że x nie może być postaci 3/2 pi + 2k*pi (gdzie k jest liczbą całkowitą). I na tym poprzestają. A jest jeszcze jeden istotny element: tangens. W liczniku chowa się tangens, który też musi być uwzględniony. Dla pewnych liczb rzeczywistych, jak wiadomo, tangens nie przyjmuje wartości, co też musimy wziąć pod uwagę, bo inaczej całe rozwiązanie się nam posypie. Po obliczeniach wychodzi, że x nie może się równać 1/2 pi + k*pi, w co wchodzi nam poprzednio uzyskany wynik. Pominięcie tangensa zabrało nam przeszło połowę punktów, dla których funkcji się nie rozpatruje, co już poważnie psuje całe zadanie. Takie proste błędy mogą prowadzić do zupełnie innego rozwiązania, dlatego trzeba zachowywać ostrożność.

Podobnie jest z funkcjami  pod pierwiastkiem. Bardzo często jest pomijany fakt, że liczba pod nim nie zawsze jest nieujemna i po prostu przechodzi się od razu do rozwiązania. Szczególnie się to spotyka, gdy takowy pierwiastek jest w liczniku w funkcji wymiernej, z podobnych powodów, z jakich pomijany jest tangens.

Inny problem stanowią logarytmy. Z niejasnych przyczyn często pomija się wyznaczanie dziedziny logarytmu, zarówno, gdy zmienną mamy w podstawie logarytmu, jak i gdy jest ona liczbą logarytmowaną. Ale załóżmy, że nie mamy z tym problemów. Gorzej jest, gdy widzimy takie coś:

Patrząc się na to, widzimy tylko jedną zmienną. I fajnie, po prostu x musi być dodatnie i różne od 1, tak? W tym rzecz, że nie. Fakt, że tylko x jest zmienną, ale kto powiedział, że to, co jest w logarytmie o podstawie 3 musi być zawsze dodatnie? Funkcja logarytmiczna przecież przyjmuje też wartości ujemne. Dlatego trzeba też sprawdzić, kiedy funkcja w funkcji jest dodatnia. Inaczej dziedzina będzie niepełna i znów rozwiązanie może być błędne.

Pora na podsumowanie. Zróbmy skrót tego, na co zwracać uwagę przy wyznaczaniu dziedziny funkcji:

• Jeśli masz funkcję wymierną, nie patrz się tylko na mianownik. Czasem licznik może zawierać funkcję, która niekoniecznie jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych.
• Nigdy nie ignoruj pierwiastka, gdziekolwiek byś go nie znalazł.
• Zawsze zwracaj uwagę na podstawę logarytmu i liczbę logarytmowaną.
• I najważniejsze: jeśli w badanej funkcji zawiera się inna funkcja (logarytm z pierwiastka, tangens z logarytmu itd.), nie stawaj tylko na funkcjach najbliższych zmiennej. Traktuj je jak osobne zmienne i je również rozpatruj dla funkcji, w których się zawierają.

I to by było na tyle. Liczę, że komuś przyda się ten post. Do następnego razu ;).